Lo que me fui a hacer

Fui tres veces concursante en las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas. He sido ya tres veces coordinador de las mismas. Estuve en otra en una figura que podría llamarse de observador (entre observador 3 y observador 2 en la nomenclatura actual). Si bien sé que muchos están al tanto de qué son las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas, muchos de los que leen esto no, así que aquí les explicaré un poco de qué es y que se hace en una Olimpiada.

La Olimpiada Internacional de Matemáticas es un evento que se realiza cada año, usualmente en julio, en un país distinto cada vez. La primera fue celebrada en 1959 en Rumania contando con la participación de siete países de la cortina de hierro, pero pronto comenzó a abrirse con el objetivo de ser un evento sin orientación política. La quincuagésima sexta olimpiada, recientemente celebrada en Chiang Mai (Tailandia), contó con la participación de más de cien países, incluyendo países tan recientemente reconocidos como Kosovo.

Cada país participa con un equipo de seis estudiantes (menores de 20 años y sin estudios universitarios), quienes compiten individualmente. Varios países no completan el equipo de seis por diferentes motivos. Los estudiantes presentan dos pruebas de tres problemas cada uno, en dos días consecutivos, y tienen cuatro horas y media para resolver cada prueba. Para efectos de puntuación y calificación se considera como una sola prueba de seis problemas. Cada problema recibe un puntaje de 7 si se completa satisfactoriamente o 0 si no se hace nada, con posibles puntajes intermedios reconociendo metas parciales o avances hacia la solución. De esta forma cada estudiante puede tener como puntaje final un número entre 0 y 42.

Normalmente los problemas consisten en probar una conjetura, o en hallar con justificación un resultado. Aquí van, a modo de ejemplo, los tres problemas que ayudé a coordinar:

2013.

Una configuración de 4027 puntos del plano, de los cuales 2013 son rojos y 2014 azules, y no hay tres de ellos que sean colineales, se llama colombiana. Trazando algunas rectas, el plano queda dividido en varias regiones. Una colección de rectas es buena para una configuración colombiana si se cumplen las dos siguientes condiciones:

  • ninguna recta pasa por ninguno de los puntos de la configuración;
  • ninguna región contiene puntos de ambos colores.

Hallar el menor valor de k tal que para cualquier configuración colombiana de 4027 puntos hay una colección buena de k rectas.

2014

Sea n ≥ 2 un entero. Consideremos un tablero de tamaño n × n formado por n2 cuadrados unitarios. Una configuración de n fichas en este tablero se dice que es pacífica si en cada fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Hallar el mayor entero positivo k tal que, para cada configuración pacífica de n fichas, existe un cuadrado de tamaño k × k sin fichas en sus k2 cuadrados unitarios.

2015

Determinar todas las ternas (a, b, c) de enteros positivos tales que cada uno de los números

abc,   bca,   cab

es una potencia de 2.

(Una potencia de 2 es un entero de la forma 2n, donde n es un entero no negativo.)

Dejo al lector, a manera de ejercicio, la solución de estos problemas.

Equipo colombiano en 1989, Brunsvick, Alemania Occidental

Equipo colombiano en 1989, Brunsvick, Alemania Occidental

Cuando era estudiante, mis olimpiadas consistían en lo siguiente: llegaba a la ciudad donde nos recibían (respectivamente Sydney, Brunsvick y Beijing), en ocasiones con algunos pocos días de antelación para aclimatación y ajuste al horario. El primer día nos recibían y nos daban alojamiento. El segundo día por la tarde era la inauguración. El tercer día era la primera prueba. El cuarto día era la segunda prueba, y en seguida habían varios días de paseos y excursiones mientras los jurados calificaban las pruebas. Las pruebas calificadas iban apareciendo en un tablero que podíamos consultar por la tarde. Al final del proceso nuestros líderes nos daban la noticia: cuántos puntos sacamos cada uno de nosotros y dónde fueron los cortes de medallas. Al día siguiente era la premiación; usualmente un banquete de despedida y al día siguiente nos íbamos.

Como dije, cada estudiante participa individualmente y obtiene una calificación entre 0 y 42 puntos. Normalmente se espera que cerca de la mitad de los concursantes obtenga medalla y en proporción 3:2:1 se distribuyen las medallas de bronce, plata y oro. Por ejemplo, en 2015 participaron 577 estudiantes, así que ganarían medalla 288 de ellos, siendo 144 medallas de bronce, 96 medallas de plata y 48 medallas de oro. Ese sería el ideal, pero como los puntajes se repiten, rara vez coinciden esos números con precisión. En Chiang Mai 282 estudiantes obtuvieron medalla, de los cuales 143 fueron bronce, 100 plata y 39 oro.

Sólo cuando se tienen todos los puntajes y se reúne el jurado por última vez es que uno, como estudiante, sabe si obtuvo medalla y cual medalla fue.

La competencia por países se basa en la suma de los puntajes de todos los estudiantes del respectivo equipo. El máximo puntaje posible por país sería entonces 252 puntos, que solamente ha sido logrado una vez: Estados Unidos en 1994. China, en 31 participaciones desde 1985, ha ganado la competencia por países en 19 oportunidades. La Unión Soviética, con 29 participaciones (hasta su disolución en 1991) obtuvo 14 veces el primer puesto. (Desde 1988 que ocupó el segundo lugar, y con excepción de 1996 que ocupó el sexto, China sólo ha quedado de primera o de segunda.)

Participé tres veces como estudiante. Obtuve sendas tres medallas de bronce. Y al siguiente año, coincidió que las olimpiadas se celebrarían en el mismo país, la misma provincia a la que me fui a vivir por motivos de trabajo de mi papá, así que estuve involucrado acompañando a los estudiantes (todos conocidos) y asistiendo a una sesión de coordinación. Eso fue en Sigtuna, Suecia, en 1991. Luego, alguna vez apoyé un entrenamiento en Colombia, o ayudé a calificar unas pruebas, pero estuve mayormente desvinculado a las Olimpiadas Internacionales hasta 2013 cuando fueron organizadas en Colombia.

2013En 2013, para la quincuagésima cuarta Olimpiada, los organizadores decidieron que todos los coordinadores locales fueran exconcursantes olímpicos. Me llamaron y acepté.

¿Qué es un coordinador?

Bueno, ya expliqué como es una olimpiada para un estudiante: va, presenta un par de pruebas, pasea y asiste finalmente a la premiación y regresa. De dónde salen los problemas y cómo es el proceso de calificación es un misterio. Más o menos: tampoco es que sea información secreta, pero es un proceso que uno no ve.

Los problemas son propuestos por los diferentes países varios meses antes de la competición. El país anfitrión convoca entonces a un comité de selección de problemas, compuesto generalmente por matemáticos del país anfitrión y personas con experiencia en el proceso. Ellos evalúan los problemas propuestos, ocasionalmente proponen cambios y crean una lista de problemas preseleccionados, o short list, buscando que haya una selección de cerca de una decena de problemas de nivel básico, alto y medio en las áreas de álgebra, combinatoria, geometría y teoría de números (aritmética).

Cerca de tres días antes de que lleguen los estudiantes, se reúnen los líderes de los equipos. Además de los seis concursantes, un equipo se compone de un líder y un profesor acompañante (llamado también colíder o deputy leader). El conjunto de los líderes de los equipos forman lo que se llama el Jurado, quienes son los que toman todas las decisiones con respecto a la competición. Su primera labor es la de seleccionar entre los problemas de la short list, los seis problemas que se presentarán en la competencia, en ocasiones proponiendo algún cambio en alguno de ellos.

Equipo de coordinación

Parte del equipo de coordinación del problema 2 de la IMO 2015.

Todos los problemas tienen una, o generalmente dos, soluciones oficiales que son conocidas por el comité de selección de problemas y dada a conocer al jurado. Pero se buscan otras posibles soluciones. Entre los líderes y los coordinadores se buscan soluciones alternativas. La primera gran labor de los coordinadores consiste en crear un esquema de puntuación: esto es decidir qué logros o metas parciales puede lograr un estudiante para obtener 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos en el problema. Para ello los coordinadores conforman equipos dedicados a cada uno de los problemas. El equipo es liderado por un capitán de problema que puede o no ser coordinador. Cada equipo evalúa las posibles soluciones, qué tanto esfuerzo implican y qué merece o no un reconocimiento parcial y se crea así el esquema de puntuación.

El esquema de puntuación es presentado al jurado el cual puede aprobarlo, modificarlo o pedirle al equipo de coordinadores de ese problema que lo modifique.

El objetivo del esquema de puntuación es poder unificar al máximo los criterios que permitan comparar a los estudiantes entre sí, buscando que la calificación sea lo más justa y menos subjetiva posible. Lograr esto es labor primordial del equipo de coordinadores.

Antes del primer día de competencia (día de la primera prueba) cada problema debe estar escogido, traducido y con un esquema de marcación aprobado.

Una vez presentados los exámenes y sacadas las respectivas copias de los mismos, la labor de los coordinadores consiste en evaluar lo que hizo cada estudiante y determinar cuanto puntaje obtiene en el respectivo problema. Usualmente los coordinadores trabajan por parejas y cada pareja (o mesa) tiene que coordinar a cierto número de países. Así que los coordinadores obtenemos las copias de lo que los estudiantes de esos países contestaron en nuestro problema. Soluciones escritas a mano, en todo tipo de caligrafías, idiomas y orden, y nos corresponden determinar si son una solución completa de 7 puntos o si hay méritos para puntos parciales (entre 1 y 6 puntos), o no es suficiente (0 puntos), de acuerdo con el esquema de puntuación.

Desde luego, los estudiantes siempre encuentran una forma de solucionar el problema de una forma que no fue anticipada por el esquema de puntuación. Si la solución es completa no importa: son 7 puntos. Pero si es una aproximación, un resultado parcial, viene el primer desafío de coordinación. ¿Cuánto merece el estudiante por esa solución parcial que no está en el esquema de puntuación? En particular, si el esquema de puntuación otorga 1 punto a algo que es una buena idea de acuerdo a las soluciones oficiales. ¿Qué es una buena idea en una solución no anticipada?

Con mi compañera de coordinación

Con mi compañera de coordinación

La coordinación, en la forma más simple, es que los coordinadores se sienten a la mesa con el líder y profesor acompañante de cada equipo, y se pongan de acuerdo con cuantos puntos hay, de acuerdo al esquema de puntuación, en la solución de cada estudiante. Muchas veces esto es muy fácil: soluciones completas y fáciles de leer y de seguir (7 claros), nada escrito que valga la pena (0 claros) o cosas que escribe el estudiante que coinciden con el esquema de puntuación (puntos parciales claros).

Luego viene el siguiente caso más o menos fácil de coordinar: cuando los coordinadores no reconocimos un logro de un estudiante que los líderes sí (en ocasiones pasa al revés) o hay problema con la traducción de alguna palabra que puede resolverse fácilmente, o cuando el líder ha interpretado incorrectamente el esquema de puntuación pero acepta fácilmente la interpretación correcta.

Luego vienen los casos difíciles. Un caso complicado es cuando el estudiante parece haber resuelto el problema (o un problema parcial) pero tiene una falla en su argumentación. El líder suele pedir el máximo puntaje otorgable a ese logro y los coordinadores no suelen querer otorgar ese puntaje. La discusión se centra entre los coordinadores tratando de convencer a los líderes que la falla es grave y los líderes tratando de convencer de que es una falla menor.

El otro caso difícil es cuando el líder está convencido de que su estudiante tuvo una buena idea hacia una solución no contemplada en el esquema de puntuación. El principal problema aquí es determinar qué tan buena es la idea o qué tan relevantes son los resultados parciales. En ocasiones esto implica que el coordinador deba hablar con su capitán o con el equipo de coordinadores para buscar que el puntaje final sea lo más justo posible frente a estudiantes que intentaron u obtuvieron ideas contempladas en las soluciones oficiales.

No es un caso difícil pero sí desgastante, cuando los líderes insisten en ver logros que no existen, o tratan de vender que el estudiante tuvo un esfuerzo grande sobre ideas que no llevan a solución; u otras formas en los que un líder quiere convencer que un estudiante merece más puntos de los contemplados sobre casos o esquemas de solución que ya han sido contemplados y discutidos.

Esa es la coordinación. Al final de la coordinación con cada líder, si se llega a un acuerdo, se firma con copia la hoja de puntajes entre el líder y uno de los coordinadores de la mesa, y si no se citan más reuniones hasta que se llegue a un acuerdo, muchas veces mediado por una decisión del capitán de problema, usualmente tras discusión con todo el equipo de coordinadores cuando falta claridad.

Si el acuerdo no es posible, la decisión final queda en manos del jurado.

Una vez listas casi todas las coordinaciones, se llega a la última reunión de jurado. El primer punto es definir los pocos (uno, dos o tres, usualmente) casos de desacuerdo. El coordinador expone sus puntos, el líder expone sus puntos y el jurado (es decir todos los demás líderes, muchos de ellos que aceptaron la decisión del coordinador sobre casos parecidos con ellos) votan para dar la razón al coordinador o al líder. Creo que tan sólo una vez en los últimos 20 años, un jurado le dio la razón al líder.

Aprobados esos últimos casos, el jurado aprueba todos los puntajes. (Siempre que he visto esa decisión ha sido por unanimidad, así que supongo que eso es algo más bien de trámite) y viene la decisión final: establecer los cortes de medallería, es decir a partir de qué puntaje es bronce, plata y oro.

Este año en Tailandia se optó por una innovación. El jurado no votó por los puntajes específicos. El personal técnico simplemente estableció que con un corte habría tantas medallas y con un punto más habría tantas otras medallas, y así para el corte de plata y oro. Específicamente, con un puntaje habría 307 medallas y con el puntaje siguiente habría 282, cuando el ideal debía ser de 288 medallas. Al no conocer el valor de ese puntaje el jurado votó por la opción más cercana al ideal, sin saber si sus estudiantes estarían o no en el corte de medalla.

La responsabilidad de la coordinación depende del país anfitrión. En Colombia en 2013 y en Sudáfrica en 2014, el grueso de coordinadores locales fuimos exconcursantes olímpicos. En Tailandia en 2015, el grueso de coordinadores locales salieron de matemáticos tailandeses que habían hecho doctorados en el extranjero. En Argentina en 2012 y según me contaron, muchos de los coordinadores locales fueron profesores de escuela. Junto con los coordinadores locales, cada país puede invitar a cierto número de coordinadores extranjeros que aporten experiencia y gracias a ello me invitaron a Sudáfrica en 2014 y a Tailandia en 2015.

Como coordinador, yo no represento a Colombia (salvo cuando fui coordinador local) y, definitivamente no represento ni tengo vínculo con el equipo colombiano, ni sus líderes. Muchos coordinadores extranjeros tienen vinculación con el proceso local en sus respectivos países, pero durante la olimpiada somos parte de la organización local del país anfitrión. Ahora, para evitar suspicacias, nunca me tocó coordinar al equipo colombiano. Incluso, este año, hubo un desacuerdo entre los líderes colombianos y los coordinadores de mi problema, siendo la única discusión a nivel del equipo de coordinadores de la cual no participé; no porque yo no pudiera ser balanceado, sino para evitar cualquier tipo de suspicacia.

Pero el país anfitrión también es un país concursante. Y si los coordinadores estamos a nombre del país anfitrión, alguien tiene que coordinar al país anfitrión.

Los problemas que son escogidos para las pruebas son problemas originalmente propuestos por alguno de los países participantes. El problema que coordiné en Tailandia fue un problema propuesto por Serbia. La coordinación de ese problema para el equipo local, corresponde entonces al líder serbio con el apoyo bien del capitán de problema o de un coordinador extranjero. Esta responsabilidad me correspondió a mí (a pesar de que en mi equipo de coordinación había también dos coreanos y un hongkonés.)

Sí, alimenté un elefante

Sí, alimenté un elefante

Así que eso fue lo que me fui a hacer a Tailandia. Ayudar a que la quincuagésima sexta Olimpiada Internacional de Matemáticas funcionara apoyando en la coordinación.

Ya lo otro: sufrir por haberme quedado varado en Houston, o haber alimentado un elefante, o no saber en qué lugar suburbano del gran Bangkok me encontraba 8 horas antes de mi vuelo a casa, fueron elementos extra en mi experiencia personal.

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